[飞控] 为什么 F=ma+w×mv?从圆周运动说起

如果你经常看论文,会发现建模的时候都用的下面的公式,其实建模我们已经很熟悉了,这不就是牛顿-欧拉方程嘛。

$$\left\{ \begin{array} { l } { m \dot { V } + \Omega \times m V = F } \\ { J \dot { \Omega } + \Omega \times J \Omega = \Gamma ^ { b } } \end{array} \right.$$

等等,牛顿方程怎么变形了?

$$F=ma=m\dot v$$

多出来的

$$\Omega \times m V$$

是什么?

关于牛顿方程,还得刚体定轴转动开始说起。

如果一个刚体绕固定的轴转动,就像图里显示的一样,我们随便选择一个点M分析,因为刚体上每个点的运动状态是一样的(转动半径不一样),转过的角度为$\varphi$(弧度),半径为r ,角速度为 w, 角加速度为$a_{ang}$。

我们先给这些变量做一些定义,什么是角速度呢?

$$\omega = \lim _ { \Delta t \rightarrow 0 } \frac { \Delta \varphi } { \Delta t } = \frac { \mathrm { d } \varphi } { \mathrm { d } t } = \dot \varphi$$

什么是角加速度呢?

$$a_{ang} = \frac { \mathrm { d } \omega } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d^2 } \omega } { \mathrm { d } t^2 } = \ddot \varphi$$

( 我们只是简写成 $A=\dot B$ 这种形式,不要忘了这些定义 )

这个定义和我们直线运动里的速度加速度几乎一样,那我们是不是可以研究一下,角速度,角加速度和速度与加速的关系。

对于圆周运动,走过的路程是一段圆弧s:

$$s=\varphi*r$$

(如果转过的角度是$2\pi$,那走过的弧就是周长C)

我们对速度的定义就是路程对时间求导,所以我们对弧长求导:

$$v_t = \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } = r \frac { \mathrm { d } s } { \mathrm { d } t } = rw$$

原来切向速度v_t可以这么求呀。

那切向加速度呢?

$$a_t = \frac { \mathrm { d } v_t } { \mathrm { d } t } =r \frac { \mathrm { d } \omega } { \mathrm { d } t } = r a_{ang}$$

千万别忘了,还有向心加速度

$$a_n = \frac { v^2 } { r } = \frac { (r \omega)^2 } { r } = r \omega ^2$$

所以圆周运动与直线行动最不同的地方,直线运动,加速度只需要改变速度的大小。而圆周运动,需要切向加速度(at)改变速度的大小,和向心加速度(an)改变速度的方向。

说这怎么多,到底 $\Omega \times m V$ 是什么?

别急别急,你看这个公式里有个叉乘,显然是向量,我们还需要把之前标量分析扩展到向量才会有答案。

定义角速度矢量:

$$\boldsymbol\omega = \omega \boldsymbol k$$

k是转轴z上的单位向量,即向量w的方向是垂直于旋转平面的法向量。

那显然角加速度肯定就跟角速在一个方向呀。

$$\boldsymbol {a_{ang}} = a_{ang} \boldsymbol k = \frac { \mathrm { d } \boldsymbol \omega } { \mathrm { d } t }$$

ok,现在我们来看看矢量形式下,速度,加速度,角速度,角角速之间的关系。

先看我们最熟悉的切向速度公式:

$$\boldsymbol {v_t} = \boldsymbol w \times \boldsymbol r$$

这里的 向量r 是矢径 ,即原点O1到质点M的向量,即M点的位置向量,这个向量与转轴z的夹角为$\gamma$。

为什么角速度叉乘矢径就是速度呢?

$$| \boldsymbol w \times \boldsymbol r | = | \boldsymbol w | |\boldsymbol r | \sin \gamma = |\omega|R = |v_t|$$

其中R为M点的转动半径,可以看出模值确实是vt,那方向呢?

向量w叉乘向量r,根据右手法则,可得他们的方向垂直于w与r组成的平面,所以方向垂直于旋转半径R,与vt速度方向一致。

所以我们可以继续得到加速度为:

$$\frac { \mathrm { d } \boldsymbol {v_t} } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } (\boldsymbol w \times \boldsymbol r) } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } \boldsymbol \omega } { \mathrm { d } t } \times \boldsymbol r + \boldsymbol \omega \times \frac { \mathrm { d } \boldsymbol r } { \mathrm { d } t }$$

根据之前的分析已知:

$$\frac { \mathrm { d } \boldsymbol \omega } { \mathrm { d } t } \times \boldsymbol r = \boldsymbol {a_{ang}} \times \boldsymbol r$$

模值为:

$$| \boldsymbol {a_{ang}} \times \boldsymbol r | = | \boldsymbol {a_{ang}} | |\boldsymbol r | \sin \gamma = a_{ang}R = |a_t|$$

同样,方向用右手定则,垂直于a_ang于r组成的平面,即方向为垂直于旋转半径R,即切线方向。

所以:

$$\frac { \mathrm { d } \boldsymbol \omega } { \mathrm { d } t } \times \boldsymbol r = \boldsymbol {a_{ang}} \times \boldsymbol r = \boldsymbol {a_t}$$

对位置矢量r求导,得到的是速度向量,即:

$$\boldsymbol \omega \times \frac { \mathrm { d } \boldsymbol r } { \mathrm { d } t} = \boldsymbol \omega \times \boldsymbol {v_t}$$

同理其模值为:

$$| \boldsymbol \omega \times \boldsymbol {v_t} | = | \boldsymbol \omega | |\boldsymbol {v_t} | \sin 90 ^ \circ = \omega ^ 2 R = |\boldsymbol {a_n}|$$

方向垂直于w与v组成的平面,即指向圆心。

所以:

$$\frac { \mathrm { d } \boldsymbol {v_t} } { \mathrm { d } t } = \frac { \mathrm { d } \boldsymbol \omega } { \mathrm { d } t } \times \boldsymbol r + \boldsymbol \omega \times \frac { \mathrm { d } \boldsymbol r } { \mathrm { d } t } = \boldsymbol {a_t} + \boldsymbol \omega \times \boldsymbol{v_t}$$

再来看看最初的牛顿方程:

$$F= m \dot { V } + \Omega \times m V = m \frac { \mathrm { d } \boldsymbol {v_t} } { \mathrm { d } t }$$

参考资料:《理论力学》-西北工业大学教研室

ps:感谢同事给的参考资料,我在看论文的时候突然发现这个问题,当时有个思路问题,我觉的这个公式应该是加上了零一个空气动力学里的力,所以把第二项单独分析,结果根本搜索不到答案,如果认定F=ma,把m提出来,剩下的式子作为a去分析,应该能更快找到答案。

ok,我是zing,一个有趣的飞控工程师今天就讲这么多,下期见。